Esoriginario de la ciudad de Pula en Istria donde comenzó su educación musical básica. Después estudió el bachillerato en Rijeka, graduándose más tarde.

Se le han otorgado 21 premios en concursos tanto nacionales como internacionales. Se ha presentado como solista y acompañado de orquestas importantes alrededor de Croacia y en el extranjero.

Se presentó en Eslovenia, Holanda, Irlanda, Bélgica, Austria, Albania, Alemania, Francia, Italia, España, Suiza, Nueva Zelandia, los Estados Unidos y Gran Bretaña. Debutó exitosamente en el Wigmore Hall, en la Iglesia St Martin in the fields y en la Iglesia de San José en la Plaza San Juan Smith, (St. John's Smith Square, en inglés), de Londres. Ha sido laureado en las competencias más prestigiosas de Reino Unido.

Stjepan es uno de los últimos chelistas en ser escuchados por Mstislav Rostropóvich antes de morir. Y también por estar entre los últimos estudiantes de Rostropovich, Stjepan ha tocado en cuatro conciertos dedicados al maestro.

Este joven músico ha sido reconocido por grandes artistas como Heinrich Schiff, Ralph Kirshbaum, Valter Despalj, Philippe Müller, Thomas Demenga, Reinhard Latzko, Young-Chang Cho, Karine Georgian, Roel Dieltiens, Hyoung-Won Chang, Silvia Sondeckiene, Karoly Botvay, Alexander Ivashkin, Daniel Weiss, Ivry Gitlis, Stephen Kovacevich, Rivka Golani, David Martín Gutiérrez entre otros.

En octubre del 2006 fue el único chelista que fue escogido para presentarse en un concierto de gala en Palazzo Vecchio, Florencia, donde tocó para Rostropovich quien resultó de los más impresionados. Después de este éxito, Stjepan ha sido invitado a tocar en festivales importantes de Europa.

Junto con la violinista eslovena Lana Trotovesk y la pianista japonesa Yoko Misumi, Hauser es parte del Greenwich Trio. Mismo al que el legendario chelista Bernard Greenhouse ha apodado el nuevo Beaux Arts Trio. Ganaron varios premios en competencias de música de Reino Unido, Bélgica e Italia.

En abril de 2008 tocó en el Palacio de Buckingham para S. A. R Carlos de Gales y su esposa Camila, Duquesa de Cornualles. También atendieron al evento personajes del medio público: Donald Trump, John Ritter y Liam Neeson.